Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+1，且f（0）=1
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）≤3x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）然后根據(jù)條件f（0）=1，知f（x）=ax²+bx+1，f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+2ax+a+bx+b+1，再由條件f（x+1）-f（x）=2x+1，知2ax+a+b=2x+1，求出a，b，c的值即可求出f（x）的解析式．
（2）由題設(shè)知當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，x²+1≤3x+m恒成立，所以當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，（x-

3

2

）²≤m+

5

4

恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)m的最小值．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=1
∴c=1
∴f（x）=ax²+bx+1，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+2ax+a+bx+b+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x+1
∴2ax+a+b=2x+1
∴

2a=2 a+b=1

∴a=1，b=0．
∴f（x）=x²+1
（2）∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）≤3x+m恒成立，
∴由（1）知當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，x²+1≤3x+m恒成立，
∴當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，（x-

3

2

）²≤m+

5

4

恒成立，
當(dāng)x=1時(shí)，（x-

3

2

）²_max=

25

4

，
∴

25

4

≤m+

5

4

，
∴m≥5．
∴當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）≤3x+m恒成立，實(shí)數(shù)m的最小值是5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察一元二次函數(shù)的解析式的求解和利用一元二次函數(shù)單調(diào)性求最值．解題的關(guān)鍵是要熟記一元二次函數(shù)的表達(dá)式f（x）=ax²+bx+c（a≠0）和其單調(diào)區(qū)間．