Question

【題目】邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）設(shè)點(diǎn)F是棱BC上一點(diǎn)，若二面角A﹣DE﹣F的余弦值為 ，試確定點(diǎn)F在BC上的位置．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，

又∵AD⊥CD，AE∩AD=A，

∴CD⊥面ADE，

又CD面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ADE．

（2）解：∵CD⊥DE，

∴如圖，以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面CDE的垂線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

則： ，

∴ ，∴ ，

設(shè) ，λ∈[0，1]

則 …（10分）

設(shè)平面FDE的法向量為 ，

則 ，取z=﹣2，得 ，

又平面ADE的法向量為 ，

∴ ，∴ ，

故當(dāng)點(diǎn)F滿足 時(shí)，二面角A﹣DE﹣F的余弦值為

【解析】（1）推導(dǎo)出AE⊥CD，AD⊥CD，得CD⊥面ADE，由此能證明平面ABCD⊥平面ADE．（2）以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面CDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法能求出當(dāng)點(diǎn)F滿足 時(shí)，二面角A﹣DE﹣F的余弦值為 ．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直)．