Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，首項a₁=3，前n項和為S_n．令cn=(-1)nSn(n∈N*)，{c_n}的前20項和T₂₀=330．?dāng)?shù)列{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，前n項和為W_n，且b₁=2，q³=a₉．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N*)．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330，解得d=3，由此利用題設(shè)條件能求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Wn=

2(1-3n)

1-3

=3n-1，要證（3n+1）W_n≥nW_n+1，只需證3ⁿ≥2n+1，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵cn=(-1)nSn，
∴T₂₀=-S₁+S₂-S₃+S₄+…+S₂₀=330，
∴a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330，
∴10(3+d)+

10×9

2

×2d=330，
解得d=3，∴a_n=3+3（n-1）=3n，…（4分）
∴q³=a₉=27，q=3，
∴bn=2•3n-1．…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，Wn=

2(1-3n)

1-3

=3n-1，
要證（3n+1）W_n≥nW_n+1，
只需證（3n+1）（3ⁿ-1）≥n（3ⁿ⁺¹-1），
即證：3ⁿ≥2n+1．…（8分）
當(dāng)n=1時，3ⁿ=2n+1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時，3ⁿ＞2n+1，
（1）當(dāng)n=2時，左邊=9，右邊=5，左＞右，不等式成立，
（2）假設(shè)n=k（k≥2），3^k＞2k+1，
則n=k+1時，3^k+1=3×3^k＞3（2k+1）=6k+3＞2（k+1）+1，
∴n=k+1時不等式成立．
根據(jù)（1）（2）可知：當(dāng)n≥2時，3ⁿ＞2n+1，
綜上可知：3ⁿ≥2n+1對于n∈N^*成立，
∴(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N*)．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．