Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²-x+c同時滿足下列二個條件：①f（0）=1，②方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=x²-mx+2，若在區(qū)間[1，3]上，f（x）＞h（x）恒成立，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出c，再利用判別式，建立方程，求出a，即可求f（x）的解析式；
（2）利用分離參數(shù)法，再求出對應(yīng)函數(shù)在x∈[1，3]上的最大值，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（0）=1，∴c=1；
∵方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根，
∴方程ax²-2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=4-4a=0，
∴a=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）f（x）＞h（x），即m＞1+

1

x

，
∵x∈[1，3]，∴1+

1

x

∈[

4

3

，2]，
∵在區(qū)間[1，3]上，f（x）＞h（x）恒成立，
∴m＞2．

點評：本題考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運用，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，正確求最值，屬于中檔題．