Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且曲線y=x²-nx+1（n∈N^*）在x=a_n處的切線的斜率恰好為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n；
（3）求證：．

Answer 1

解：（1）y’=2x-n，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得S_n=2a_n-n①，（1分）則S_n+1=2a_n+1-（n+1）②，
②一④得：a_n+l=2a_n+1-2a_n-1，即a_n+1=2a_n+l，（2分）故a_n+1=2（a_n+1）．（3分）
由①知，a_l=S₁=2a₁-1，得a₁=1．（4分）
∴{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+l=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-l（n∈N^*）．（5分）
（2）由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，則，其中A_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2A_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①一②得：
∴A_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（8分）故（9分）
（3）∵=（12分）∴=（l4分）
分析：（1）依據(jù)題意對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到數(shù)列的遞推公式，由所得的遞推公式構(gòu)建關(guān)于數(shù)列{a_n}的項(xiàng)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用間接法求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)題設(shè)，由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，由于此數(shù)列的通項(xiàng)是由可以看作是兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的和組成，故求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n，要先分組，其中一組用等差數(shù)列的求和公式求和，另一組用錯(cuò)位相減法求和，然后再相加即可得到數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n；
（3）由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及不等式的形式，此不等式的證明要采取逐步放大的方法進(jìn)行證明，
點(diǎn)評：本題考查了由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)，分組求和與錯(cuò)位相減法求和等求和的技巧，以及放縮法證明不等式的技巧，本題綜合性較強(qiáng)，對靈活運(yùn)用知識(shí)與技巧進(jìn)行變形要求很高，是一個(gè)能力型的題．