定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意m，n∈（-1，1），都有f(m)+f(n)=f(
m+n
1+mn
)，且當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明之；
（3）求證f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)＞f(
1
2
)．
（1）令m=n=0得f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-m）+f（m）=f（0）=0?f（-m）=-f（m）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
（2）∵f(m)+f(n)=f(
m+n
1+mn
)，
當-1＜m＜n＜1時，
m-n
1-mn
＜0，由條件知f（
m-n
1-mn
）＞0，
即f（m）-f（n）＞0∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）證明：∵f(
1
n2+3n+1
)=f（
1
(n+1)(n+2)-1
）=f[
1
n+1
+(
-1
n+2
)
1+(
1
n+1
)(
-1
n+2
) 
]
=f（
1
n+1
）+f（
-1
n+2
）=f（
1
n+1
）-f（
1
n+2
）
∴f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)
=f（
1
2
）-f（
1
3
）+f（
1
3
）-f（
1
4
）+…+f（
1
n+1
）-f（
1
n+2
）
=f（
1
2
）-f（
1
n+2
）
∵0＜
1
n+2
＜1
∴f（
1
n+2
）＜0
∴f（
1
2
）-f（
1
n+2
）＞f（
1
2
）
∴f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)＞f(
1
2
)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
，
①求函數(shù)f（x）的解析式；
②判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并用定義證明；
③解關(guān)于x的不等式f（log2x-1）+f（log2x）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，當x∈（0，1）時，f（x）=2x2-2x，求f（x）在（-1，1）上的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若m、n∈［-1,1］,m+n≠0,＞0.

(1)證明f(x)在［-1，1］上是增函數(shù)；

（2）解不等式f(x+)＜f().

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省青島市即墨一中高一（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

函數(shù)f（x）=是定義在（-1，1）的奇函數(shù)，且f（）=．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年黑龍江省哈爾濱三中高一（上）段考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

函數(shù)f（x）=是定義在（-1，1）的奇函數(shù)，且f（）=．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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