精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】有人玩擲均勻硬幣走跳棋的游戲，棋盤上標有第0站（出發(fā)地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子開始在出發(fā)地，棋手每擲一次硬幣，這枚棋子向前跳動一次，若擲出正向，棋子向前跳一站，若擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或跳到第100站（失�。⿻r，該游戲結束. 設棋子跳到第站的概率為.

（1）求，，，并根據棋子跳到第站的情況寫出與、的遞推關系式（）；

（2）求證：數列為等比數列；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

【答案】（1），，，；（2）見解析；（3）.

【解析】

(1)棋子開始在第0站是必然事件，；棋子跳到第1站，;棋子跳到第2站，有兩種情況，是互斥事件，分別求出，相加即可；依題意知，棋子跳到第（）站有兩種情況：棋子先跳到站和棋子先跳到站,它們是互斥事件，根據互斥事件的加法公式即得， （2）要證明數列為等比數列，需證明是常數，

將兩邊同減去，構成即可；

（3）由（2）知，得，將的前99項相加即可

解：（1）棋子開始在第0站是必然事件，；

棋子跳到第1站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為；

棋子跳到第2站，有兩種情況，

①第一次擲硬幣反面向上，其概率為；

②前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為；

依題意知，棋子跳到第（）站有兩種情況：

第一種，棋子先跳到站，又擲出反面，其概率為；

第二種，棋子先跳到站，又擲出正面，其概率為.

∴

故有： ，，，.

（2）由（1）知，，

，又，

數列是以為首項，為公比的等比數列.

（3）由（2）知，，

∴

.

∴玩該游戲獲勝的概率為

故答案為：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，，其中為自然對數的底數，.

（1）求證：；

（2）若對于任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在，使，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某城市的華為手機專賣店對該市市民使用華為手機的情況進行調查.在使用華為手機的用戶中，隨機抽取100名，按年齡(單位:歲）進行統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖：

（1）根據頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表)和中位數的估計值(均精確到個位）；

（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加華為手機宣傳活動，再從這20人中年齡在和的人群里，隨機選取2人各贈送一部華為手機，求這2名市民年齡都在內的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；

（2）已知點、的極坐標分別為和，直線與曲線相交于，兩點，射線與曲線相交于點，射線與曲線相交于點，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校為了了解全校學生“體能達標”的情況，從全校1000名學生中隨機選出40名學生，參加“體能達標”預測，并且規(guī)定“體能達標”預測成績小于60分的為“不合格”，否則為“合格”若該校“不合格”的人數不超過總人數的，則全校“體能達標”為“合格”；否則該校“體能達標”為“不合格”，需要重新對全校學生加強訓練現(xiàn)將這40名學生隨機分為甲、乙兩個組，其中甲組有24名學生，乙組有16名學生經過預測后，兩組各自將預測成績統(tǒng)計分析如下：甲組的平均成績?yōu)?/span>70，標準差為4；乙組的平均成績?yōu)?/span>80，標準差為6（題中所有數據的最后結果都精確到整數）.

（1）求這40名學生測試成績的平均分和標準差；

（2）假設該校學生的“體能達標”預測服從正態(tài)分布用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值.利用估計值估計：該校學生“體能達標”預測是否“合格”？

附：①個數的平均數，方差；

②若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若，恒有成立，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了保障某治療新冠肺炎藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內，武漢某制藥廠在該藥品的生產過程中，檢驗員在一天中按照規(guī)定從該藥品生產線上隨機抽取20件產品進行檢測，測量其主要藥理成分含量（單位：mg）.根據生產經驗，可以認為這條藥品生產線正常狀態(tài)下生產的產品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N（μ，σ2）.在一天內抽取的20件產品中，如果有一件出現(xiàn)了主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的藥品，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對本次的生產過程進行檢查.

（1）下面是檢驗員在2月24日抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：

10.02

9.78

10.04

9.92

10.14

10.04

9.22

10.13

9.91

9.95

10.09

9.96

9.88

10.01

9.98

9.95

10.05

10.05

9.96

10.12

經計算得xi＝9.96，s0.19；其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量，i＝1，2，…，20.用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對本次的生產過程進行檢查？

（2）假設生產狀態(tài)正常，記X表示某天抽取的20件產品中其主要藥理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的藥品件數，求/span>P（X＝1）及X的數學期望.

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】三國時代吳國數學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明，下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實，圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色其面積稱為朱實，黃實，利朱用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱實+黃實=弦實，化簡得勾2+股2=弦2，設勾股中勾股比為，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內的圖釘數大約為( )

A.886B.500C.300D.134

查看答案和解析>>

同步練習冊答案