Question

梯形ACPD中，AD∥CP，PD⊥AD，CB⊥AD，，PC=AC=2，如圖①；現(xiàn)將其沿BC折成如圖②的幾何體，使得．
（Ⅰ）求直線BP與平面PAC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先判斷BD、BA、BC兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得直線BP與平面PAC成的角大��；
（Ⅱ）求出平面PAB的法向量，平面PAC的法向量為=（1，1，0），利用向量的夾角公式，即可求得二面角C-PA-B的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，∵PC=AC=2，
∴，BD=2，．
在△ABD中，∵AB²+DB²=AD²，∴BD⊥BA，
∴BD、BA、BC兩兩垂直，分別以BC、BA、BD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz（如圖）.，，．
設(shè)平面PAC的法向量為=（x，y，z），，，，
∴，取=（1，1，0）
設(shè)直線BP與平面PAC成的角為θ，則
直線BP與平面PAC成的角大小為．
（Ⅱ）設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），．
∴，∴，∴
令z=-1，∴．
由（Ⅰ）知平面PAC的法向量為=（1，1，0）．
∴
由圖知二面角C-PA-B為銳角，
∴二面角C-PA-B的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，屬于中檔題．