Question

設(shè)集合P={1，2，3，4，5}，對(duì)任意k∈P和正整數(shù)m，記f（m，k）=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，其中，[a]表示不大于a的最大整數(shù)，則f（2，2）=

 

，若f（m，k）=19，則m^k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：結(jié)合新定義：對(duì)任意k∈P和正整數(shù)m，記f（m，k）=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，其中，[a]表示不大于a的最大整數(shù)，
將m=2，k=2代入即可得到f（2，2）的值；結(jié)合f（m，k）的單調(diào)性進(jìn)行估算驗(yàn)證即可確定f（m，k）=19時(shí)，m與k的值，即得答案．

解答： 解：由于對(duì)任意k∈P和正整數(shù)m，記f（m，k）=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，其中，[a]表示不大于a的最大整數(shù)，
則f（2，2）=

5

i=1

[2

3 i+1

]
=[2

3 2

]+[2

3 3

]+[2

3 4

]+[2

3 5

]+[2

3 6

]
=[

6

]+[2]+[

3

]+[

2 15

5

]+[

2

]
=2+2+1+1+1=7，
由于若m＞n，則f（m，k）＞f（n，k），
若k＞t，則f（m，k）＞f（m，t），
由于f（m，k）=19＞7，故m＞2，
當(dāng)m=3，k=3時(shí)，則f（3，3）=

5

i=1

[3

4 i+1

]
=[3

4 2

]+[3

4 3

]+[3

4 4

]+[3

4 5

]+[3

4 6

]
=[3

2

]+[2

3

]+[3]+[

6 5

5

]+[

6

]
=4+3+3+2+2=14≠19，
當(dāng)m=4，k=3時(shí)，則f（4，3）=

5

i=1

[4

4 i+1

]
=[4

4 2

]+[4

4 3

]+[4

4 4

]+[4

4 5

]+[4

4 6

]
=[4

2

]+[

8 3

3

]+[4]+[

8 5

5

]+[

4 6

3

]
=5+4+4+3+3=19，
故m=4，k=3時(shí)，f（m，k）=19，
則m^k=64，
故答案為：7；64．（提示：利用f（m，k）的單調(diào)性進(jìn)行估算驗(yàn)證確定）

點(diǎn)評(píng)：本題為創(chuàng)新概念題，做題時(shí)，需緊扣新概念，屬于中檔題．