Question

已知函數(shù)f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]的區(qū)間[1，2]上恒為正值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：應(yīng)該分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論，確定真數(shù)的范圍，使得該對(duì)數(shù)恒為正．

解答： 解：①當(dāng)a＞1時(shí)，要使f（x）恒為正，只需真數(shù)(

1

a

-2)x+1當(dāng)x∈[1，2]時(shí)恒大于1，
令y=(

1

a

-2)x+1，該函數(shù)在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，因此只需

( 1 a -2)×1+1＞1 ( 1 a -2)×2+1＞1

，無解；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，要使f（x）恒為正，只需真數(shù)y=(

1

a

-2)x+1當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，在區(qū)間（0，1）內(nèi)取值，
而y=(

1

a

-2)x+1在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，所以只需

0＜( 1 a -2)×1+1＜1 0＜( 1 a -2)×2+1＜1

，解得

1

2

＜a＜

2

3

．
綜上，a的范圍是

1

2

＜a＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題一方面考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來解決問題；另一方面要注意分類討論．