Question

2．函數(shù)y=x³（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_k，a_k³）處的切線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的零點(diǎn)為a_k+1，其中k∈N^*．若a₁=2，則a₁+a₃+a₅的值是$\frac{266}{81}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)y=x³（x＞0）在點(diǎn)（a_k，a_k³）處的切線方程，再求出切線方程的零點(diǎn)a_k+1，
根據(jù)數(shù)列{a_n}的特征，計(jì)算出a₁+a₃+a₅的值．

解答 解：∵y=x³（x＞0），
∴y′=3x²，
∴y=x³（x＞0）在點(diǎn)（a_k，a_k³）處的切線方程是：
y-a_k³=3${{a}_{k}}^{2}$（x-a_k），
整理得，3${{a}_{k}}^{2}$x-y-2a_k³=0；
又∵切線方程的零點(diǎn)為a_k+1，
∴a_k+1=$\frac{2}{3}$a_k，
∴{a_n}是首項(xiàng)為a₁=2，公比q=$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
∴a₁+a₃+a₅=2+2×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{16}{81}$=$\frac{266}{81}$．
故答案為：$\frac{266}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程的應(yīng)用問題，也考查了等比數(shù)列的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)、切線方程和等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用．