Question

16．已知函數(shù)f（x）=xlnx+f′（1）（$\frac{1}{2}$x+1）-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且k＜$\frac{f（x）}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．令x=1，求得f′（1）=2，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入k（x-1）＜f（x），整理后得k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈（1，+∞），k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$恒成立，求正整數(shù)k的值．設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x₀位于（3，4）內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)g（x）的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知g（x₀）=x₀，從而得到k＜x₀，則正整數(shù)k的最大值可求．

解答 解：（1）f（x）=xlnx+f′（1）（$\frac{1}{2}$x+1）-2．
導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+1+$\frac{1}{2}$f′（1），
令x=1，則f′（1）=lnx+1+$\frac{1}{2}$f′（1），
求得f′（1）=2，
則f（x）=xlnx+x；
（2）因?yàn)閒（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因?yàn)閤＞1，
也就是k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立．
令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g（x）]_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-1}$．
所以k＜[g（x）]_min=x₀，
因?yàn)閤₀∈（3，4）．故整數(shù)k的最大值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，在求解（2）時(shí)如何求解函數(shù)g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$的最小值，學(xué)生思考起來有一定難度．此題屬于難度較大的題目．