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【題目】已知橢圓的左焦點為，右焦點為，設M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩動點，且直線與直線平行，與交于點D．

（Ⅰ）求和的坐標；

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）求證：是定值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析．

【解析】

（Ⅰ）由橢圓方程得后可得，即得焦點坐標；

（Ⅱ）設直線與橢圓的另一焦點是，由橢圓的對稱性得，設，設直線方程是，與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理可得，用弦長公式求得，計算并代入得關于的函數，可得最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，再由，由平行線性質求得和，相加即證．

（Ⅰ）由題意，，所以，焦點為，；

（Ⅱ）設直線與橢圓的另一焦點是，因為，所以由橢圓的對稱性得，

設，設直線方程是，

由得，，，

，

所以當時，取得最小值為．

（Ⅲ）因為，且在橢圓上，

所以

同理，

所以，

由（Ⅱ），

，

所以為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數）.在極坐標系（與平面直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線的方程為.

（1）求圓的普通方程及直線的直角坐標方程；

（2）設直線與圓相交于、兩點，與軸交于點，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣，越來越多的市民在出行時喜歡選擇騎行共享單車。為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況，某公司在我市隨機抽取了100名用戶進行調查，得到如下數據：

每周使用次數

1次

2次

3次

4次

5次

6次及以上

男

4

3

3

7

8

30

女

6

5

4

4

6

20

合計

10

8

7

11

14

50

（1）如果認為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”，請完成列表（見答題卡），并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關？

（2）每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達人”中，隨機抽取4名用戶.

① 求抽取的4名用戶中，既有男生“騎行達人”又有女“騎行達人”的概率；

②為了鼓勵女性用戶使用共享單車，對抽出的女“騎行達人”每人獎勵500元，記獎勵總金額為，求的分布列及數學期望．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領農村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康，扶貧辦計劃為某農村地區(qū)購買農機機器，假設該種機器使用三年后即被淘汰.農機機器制造商對購買該機器的客戶推出了兩種銷售方案：

方案一：每臺機器售價7000元，三年內可免費保養(yǎng)2次，超過2次每次收取保養(yǎng)費200元；

方案二：每臺機器售價7050元，三年內可免費保養(yǎng)3次，超過3次每次收取保養(yǎng)費100元.

扶貧辦需要決策在購買機器時應該選取那種方案，為此搜集并整理了50臺這種機器在三年使用期內保養(yǎng)的次數，得下表：

保養(yǎng)次數

0

1

2

3

4

5

臺數

1

10

19

14

4

2

記表示1臺機器在三年使用期內的保養(yǎng)次數.

（1）用樣本估計總體的思想，求“不超過2”的概率；

（2）若表示1臺機器的售價和三年使用期內花費的費用總和（單位：元），求選用方案一時關于的函數解析式；

（3）按照兩種銷售方案，分別計算這50臺機器三年使用期內的總費用（總費用=售價+保養(yǎng)費），以每臺每年的平均費用作為決策依據，扶貧辦選擇那種銷售方案購買機器更合算？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一次數學競賽，共有6道選擇題，規(guī)定每道題答對得5分，不答得1分，答錯倒扣1分．一個由若干名學生組成的學習小組參加了這次競賽，這個小組的人數與總得分情況為（　�。�

A. 當小組的總得分為偶數時，則小組人數一定為奇數

B. 當小組的總得分為奇數時，則小組人數一定為偶數

C. 小組的總得分一定為偶數，與小組人數無關

D. 小組的總得分一定為奇數，與小組人數無關

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，若方程f（x）＝a有四個不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，則的取值范圍為（　�。�

A. （﹣1，+∞）B. （﹣1，1]C. （﹣∞，1）D. [﹣1，1）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在棱長為1的正方體中，E，F分別為線段CD和上的動點，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（　�。�

A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設l為曲線C：在點處的切線.

（1）求l的方程；

（2）證明：除切點之外，曲線C在直線l的下方；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】三棱柱中，為的中點，點在側棱上，平面

(1) 證明：是的中點；

(2) 設,四邊形為邊長為4正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為，求該三棱柱的體積.

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