Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，令n=1可求T₁，然后利用已知變形可得：T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），變形即可證明
（Ⅱ）由等差數(shù)列，可求，進(jìn)而可求a_n，代入即可求解b_n，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)考慮利用裂項(xiàng)求和
解答：解：（Ⅰ）∵T_n=2-2a_n
∴T₁=2-2T₁
∴
∴（1分）
由題意可得：T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），
所以（6分）
∴數(shù)列是以為公差，以為首項(xiàng)的等差數(shù)列
（Ⅱ）∵數(shù)列為等差數(shù)列，
∴，
∴，（8分）
∴（10分），
∴==（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用．