Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=6x-2，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}滿足等式：an=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）求出合適f（x）將點(diǎn)（n，S_n）代入f（x）的解析式，得到前n項(xiàng)和，利用項(xiàng)與和的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)．
（2）利用數(shù)列的已知等式仿寫另一個(gè)等式，兩個(gè)式子相減得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，判斷出從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=6x-2
∴f（x）=3x²-2x
∵點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
∴S_n=3n²-2n
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5
當(dāng)n=1時(shí)適合上式
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=6n-5
（2）∵an=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

(n∈N*)
∴an-1= 

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn-1

2n-1

(n∈N*)
兩式相減得

bn

2n

=6
∴b_n=6•2ⁿ（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2
∴T_n=2+6（2²+2³+…+2ⁿ）=3•2ⁿ⁺²-22

點(diǎn)評：已知數(shù)列的和求數(shù)列的通項(xiàng)，一般是仿寫另一個(gè)等式，利用兩個(gè)式子相減，但注意n=1時(shí)單獨(dú)討論．