Question

已知函數f(x)=xm+

2

x

且f(4)=

9

2

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判斷f（x）在[

2

，+∞)上的單調性，并給予證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據條件且f(4)=

9

2

，建立方程，解m的即可；
（Ⅱ）利用函數奇偶性的定義進行判定f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用函數單調性的定義進行證明函數的單調性即可．

解答：解：（I）∵f(4)=

9

2

，∴f(4)=4m+

2

4

=

9

2

，
∴4^m=4，
∴m=1．
（II）由（1）得f(x)=x+

2

x

，
∵f（x）的定義域為{x|x≠0}，
又f(-x)=-x+

2

-x

=-(x+

2

x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函數．
（III）f（x）在[

2

，+∞)上的為單調遞增函數．
證明：設

2

≤x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=x1+

2

x1

-(x2+

2

x2

)=(x1-x2)(1-

2

x1x2

)，
∵

2

≤x1＜x2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
∴0＜

2

x1x2

＜1，
∴1-

2

x1x2

＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[

2

，+∞)上的為單調遞增函數．

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的應用，要求熟練掌握函數單調性和奇偶性的性質和定義．