Question

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)的極值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由對(duì)任意恒成立，求出代入分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，由二次函數(shù)的最值可得a的取值范圍；

（2）由函數(shù)的極值為正數(shù)，則有正根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有正根問(wèn)題，對(duì)a進(jìn)行分類討論，可得當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且異號(hào)，設(shè)，，可得出是函數(shù)在上的唯一極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn)，再利用函數(shù)與方程思想可得，又得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），

對(duì)任意恒成立，即.

.

，當(dāng)時(shí)有最小值-1，

，.

（2）.

①當(dāng)時(shí)，，在上遞增，

此時(shí)無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)方程，.

方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，

，，一正一負(fù)，

設(shè)，，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

在上遞增，在上遞減，是函數(shù)在上的唯一極值點(diǎn)且是極大值點(diǎn).

.

令，易知在上遞增，又，

時(shí)，，.

，

.

.