Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$，a∈N^*．b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$⇒當n≥2時，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{3}$，兩式作差求出數(shù)列{a_n}的通項；
（2）由（1）的結(jié)論可知數(shù)列{b_n}的通項．再用錯位相減法求和即可．

解答 解：（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$，①
∴當n≥2時，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{3}$．②
①-②，得3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$，
所以a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
在①中，令n=1，得a₁=$\frac{1}{3}$也滿足上式．
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$（n∈N^*）；
（2）∵b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，
∴b_n=n•3ⁿ．
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④
④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），
即2S_n=n•3ⁿ⁺¹-$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$，
∴S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項的求法和求和方法：錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．