Question

設(shè)a，b∈[0，1]，求S=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件將不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答： 解  因?yàn)?span id="iomfi55" class="MathJye">S=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)=

1+a+b+a2b2

(1+a)(1+b)

=1-

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

≤1，
當(dāng)ab=0或ab=1時(shí)等號(hào)成立，所以S的最大值為1．   
令T=

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

，x=

ab

，則T=

ab(1-ab)

1+a+b+ab

≤

ab(1-ab)

1+2 ab +ab

=

x2(1-x2)

(1+x)2

=

x2(1-x)

1+x

．        
 下證 

x2(1-x)

1+x

≤

5 5 -11

2

．?(x-

5 -1

2

)2(x+

5

-2)≥0，
所以T≤

5 5 -11

2

，
從而S≥

13-5 5

2

，
當(dāng)a=b=

5 -1

2

時(shí)等號(hào)成立，
所以S的最小值為

13-5 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，運(yùn)算量較大，難度較大．