Question

已知函數(shù)f（x）=mx-sinx，g（x）=axcosx-2sinx（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上任意相異兩點的直線的斜率都大于零，求實數(shù)m的最小值；
（Ⅱ）若m=1，且對任意x∈[0，

π

2

]，都有不等式f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）將已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性研究導(dǎo)函數(shù)值的正負，從而得出結(jié)論；（Ⅱ）通過對不等式的變形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值恒非負問題，求出相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)后，通過兩次分類討論，找出適合條件的參量范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵過曲線y=f（x）上任意相異兩點的直線的斜率都大于0，
∴任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，得f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=mx-sinx在R上單調(diào)遞增．
∴∴f'（x）=m-cosx≥0恒成立，即m≥cosx，
∴m的最小值為1．
（Ⅱ）∵m=1，
∴f（x）=x-sinx．
∵f（x）≥g（x），
∴x+sinx-axcosx≥0．
對于任意的x∈[0，

π

2

]，令H（x）=x+sinx-axcosx，
則H'（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）
=1+（1-a）cosx+axsinx．
（1）當(dāng)1-a≥0，即0＜a≤1時，H'（x）=1+（1-a）cosx+axsinx＞0，
∴H(x)在[0，

π

2

]上單調(diào)遞增．
∴H（x）≥H（0）=0，符合題意，
∴0＜a≤1．
（2）當(dāng)1-a＜0，即a＞1時，h（x）=1+（1-a）cosx+axsinx，
h'（x）=（2a-1）sinx+axcosx，
∵a＞1，
∴2a-1＞0，
∴h'（x）≥0．
∴h(x)在[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，
∴h(0)≤h(x)≤h(

π

2

)，
即2-a≤h(x)≤

π

2

a+1．
∴2-a≤H′(x)≤

π

2

a+1．
①當(dāng)2-a≥0，即1＜a≤2時，H'（x）≥0，
∴H（x）在[0，

π

2

]上為單調(diào)增函數(shù)，
于是H（x）≥H（0）=0，符合題意．
∴1＜a≤2．
②當(dāng)2-a＜0，即a＞2時，
存在x0∈[0，

π

2

]，使得當(dāng)x∈（0，x₀）時，有H'（x）＜0，
此時H（x）在（0，x₀）上為單調(diào)減函數(shù)，
從而H（x）＜H（0）=0，不能使H（x）＞0恒成立．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為0＜a≤2．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)的知識，主要是運用導(dǎo)函數(shù)去判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性去研究問題．本題的方法明確，需要進行兩次分類討論，運算量較大，有難度，屬于難題．