Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1-3a_n+4=0，n∈N⁺，那么數(shù)列{a_n}前10項(xiàng)中為負(fù)值的項(xiàng)數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．7
D．9

Answer 1

【答案】分析：由a_n+1-3a_n+4=0得出a_n+1-2=3（a_n-2），判斷出數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，通過其通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再解不等式a_n＜0得出結(jié)果．
解答：解：由a_n+1-3a_n+4=0得a_n+1=3a_n-4，
兩邊減去2得出
a_n+1-2=3a_n-6=3（a_n-2），
所以數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，且公比為3，首項(xiàng)a₁-2=1-2=-1
數(shù)列{a_n-2}的通項(xiàng)公式是a_n-2=-3^n-1，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2-3^n-1，
 由a_n＜0得2-3^n-1＜0，即3^n-1＞2，
∴n-1≥1，解得n≥2，
∴前10項(xiàng)中處首項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為負(fù)值
故選D．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，以及不等式的解法，考查變形構(gòu)造、計(jì)算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型遞推公式，均可通過兩邊加上一個(gè)合適的常數(shù)，變形構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列．