Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁++ +…+＝n²+2n（其中常數(shù)λ＞0，n∈N^*）.

（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)λ＝4時(shí)，是否存在互不相同的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由；

（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n∈N^*，都有(1-λ)S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

（1）a_n＝(2n＋1)·λ^n－1 (n∈N^*)

（2）不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列

（3）當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，結(jié)論成立

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和、和不等式的成立的證明綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件可知利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系得到通項(xiàng)公式。
（2）因?yàn)楫?dāng)λ＝4時(shí)，a_n＝(2n＋1)·4^n－1．
若存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，則[(2r＋1)·4^r－1] [(2t＋1)·4^t－1]＝(2s＋1)²·4^2s－2．
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 ^{r＋t －2s}＝(2s＋1)²，可以判定為等比數(shù)列。
（3）因?yàn)镾_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1．，需要對(duì)于參數(shù)λ分情況討論得到和式的求解，以及不等式的證明。