Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=，記b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）求S_2n+1．

Answer 1

解：（1）當n=2時，a₂=+1=+1=；
當n=3時，a₃=a₂-2×2=-4=-．
（2）當n≥2時，b_n=a_2n=a_（2n-1）+1=a_2n-1+（2n-1）
=[a_2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=a_2（n-1）+1=b_n-1+1
∴b_n-2=（b_n-1-2），又b₁-2=a₂-2=-，
∴b_n-2=-•（）^n-1=-（）ⁿ，即b_n=2-（）ⁿ．
（3）∵a_2n+1=a_2n-4n=b_n-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1
=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）
=1+2（2n-）-4×
=（）^n-1-2n²+2n-1．
分析：（1）直接把n=2，3代入數(shù)列遞推公式即可求出a₂，a₃；
（2）先把b_n=a_2n，轉化為b_n=a_2n=a_（2n-1）+1=a_2n-1+（2n-1）=[a_2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=a_2（n-1）+1=b_n-1+1，即求出數(shù)列{b_n}的遞推關系式，再構造新的等比數(shù)列來求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）把數(shù)列{a_n}中的所有項都用數(shù)列{b_n}的通項表示出來，再采用分組求和法求其前2n+1項的和即可．
點評：本題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用以及數(shù)列求和的分組求和法，是對數(shù)列知識的綜合考查，第一問比較容易，后兩問較難．