Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1-2 a_n=0，數(shù)列{b_n}中，b_n•a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}通項公式以及前n項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)遞推公式判斷出該數(shù)列是等比數(shù)列，求出公比，代入等比數(shù)列的通項公式求出；
（Ⅱ）根據(jù)題意和（Ⅰ）的結果，代入所給的式子求出{b_n}通項公式，判斷出{b_n}是等比數(shù)列，代入前n項和公式進行求解．

解答：解（I）∵a_n+1-2a_n=0，∴

an+1

an

=2(n≥1)
又∵a₁=3，∴{a_n}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=3•2^n-1（n∈N^*）
（II）∵b_n•a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）
∴bn=(-1)n•

1

an

=(-1)n•

1

3×2n-1

，
則{b_n}是以-

1

2

為公比，-

1

3

為首項的等比數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=-

1

3

+

1

3×2

+…+(-1)n•

1

3×2n-1

=

- 1 3 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=-

2

9

[1-(-

1

2

)n]
=

2

9

[(-

1

2

)n-1]．

點評：本題考點是等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應用，主要根據(jù)所給的式子進行變形，再由等比數(shù)列的定義進行判斷．