Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)f（x）的極大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R，
，即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或．
①當k=-2時，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，
故f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；
②當-2＜k＜0時，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x				-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是和（-1，+∞），單調遞減區(qū)間是．
③當k＜-2時，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-1）和，單調遞減區(qū)間是．
綜上，當k=-2時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；當-2＜k＜0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是和（-1，+∞），單調遞減區(qū)間是；
當k＜-2時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-1）和，單調遞減區(qū)間是．
（Ⅱ） ①當k=-2時，f（x）無極大值．
②當-2＜k＜0時，f（x）的極大值為，
令，即，解得 k=-1或（舍）．
③當k＜-2時，f（x）的極大值為．
因為 e^k＜e^-2，，所以 ．
因為 ，所以 f（x）的極大值不可能等于3e^-2，
綜上所述，當k=-1時，f（x）的極大值等于3e^-2．
分析：（Ⅰ）求出f'（x））=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），令f'（x）=0，解得：x=-1或．按兩根-1，的大小關系分三種情況討論即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分情況求出函數(shù)f（x）的極大值，令其為3e^-2，然后解k即可，注意k的取值范圍；
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及求函數(shù)極值問題，考查分類討論思想，考查學生邏輯推理能力，屬中檔題．