Question

19．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，若存在點(diǎn)P使得∠F₁PF₂為鈍角，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂為鈍角，得到$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，轉(zhuǎn)化為c²＞x₀²+y₀²有解，求出x₀²+y₀²的最小值后求得橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則|x₀|＜a，
又∠F₁PF₂為鈍角，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解，
即c²＞x₀²+y₀²有解，即c²＞（x₀²+y₀²）_min．
又y₀²=b²-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，
∴x₀²+y₀²=b²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²∈[b²，a²），
即（x₀²+y₀²）_min=b²．
故c²＞b²，c²＞a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，即e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量數(shù)量積在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于把存在一點(diǎn)P使∠F₁PF₂為鈍角轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0有解．