Question

已知f（x）是二次函數(shù)，f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表達式；
（II）求證：當(dāng)x＞1時，f（x）＜-2lnx．

Answer 1

（I）解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則f'（x）=2ax+b，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴，解之得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．
（II）證明：設(shè)g（x）=f（x）+2lnx，則=
∵x＞1，∴g′（x）＜0
∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)
∴g（x）＜g（1）=0
∴當(dāng)x＞1時，f（x）＜-2lnx．
分析：（I）利用待定系數(shù)法，結(jié)合對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立，建立方程組，即可求f（x）的解析表達式；
（II）構(gòu)造g（x）=f（x）+2lnx，證明函數(shù)g（x）在（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查恒成立問題，考查函數(shù)解析式的確定，考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．