Question

2．四棱錐P-ABCD的四條側(cè)棱長(zhǎng)相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD∥平面ACM；
（2）若PA=AB，求異面直線PD與DM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接OM，則PD∥OM，由此能證明PD∥平面ACM．
（2）異面直線PD與CM所成的角，即OM與CM所成的角，即∠OMC，由此能求出異面直線PD與DM所成角的正弦值．

解答 證明：（1）連接OM，正方形ABCD中，OB=OD，又M為PB中點(diǎn)，
∴PD∥OM，
∵OM?平面ACM，PD不在平面ACM內(nèi)，
∴PD∥平面ACM．…（4分）
解：（2）由（1）知，異面直線PD與CM所成的角，
即OM與CM所成的角，即∠OMC，
令PA=AB=2，則$OM=\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}PA=1$，$OC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC=\sqrt{2}$，
又PC=PB=PA=2=BC，∴△PBC為正三角形，$CM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BC=\sqrt{3}$，
在△OMC中，由OM²+OC²=MC²，∴OM⊥OC，
∴$sin∠OMC=\frac{OC}{MC}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故異面直線PD與DM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．