Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）記g（x）=f（x）+x，判斷g（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明之．

Answer 1

解：（1）由題意令y=f（x）=x^a，由于圖象過點(diǎn)（ ，），
得 =^a，a=-1
∴y=f（x）=x^-1
（2）g（x）=f（x）+x=x+
函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有
由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
所以，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）先由冪函數(shù)的定義用待定系數(shù)法設(shè)出其解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式即可；
（2）函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，理由為：在區(qū)間（1，+∞）上任取x₁＞x₂＞1，求出f（x₁）-f（x₂），通分后，根據(jù)設(shè)出的x₁＞x₂＞1，判定其差大于0，即f（x₁）＞f（x₂），從而得到函數(shù)為增函數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求其解析式，求函數(shù)值．