Question

已知f（x）=alnx-bx²圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，AB的中點為G（x，0），問g（x）在x=x處是否取得極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可求得f′（x）=-2bx，由f′（2）=-4b，f（2）=aln2-4b，由曲線在點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2可求得a，b；由即可求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）依題意，可求得g′（x）=-2x-k，假設(shè)結(jié)論g（x）在x=x處取極值，由g′（x）=0成立⇒ln=，令t=，u（t）=lnt-（0＜t＜1），利用導(dǎo)數(shù)可求u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，從而導(dǎo)出矛盾，于是可得g（x）在x=x處不是極值點．
解答：解：（1）f′（x）=-2bx…1分
f′（2）=-4b，f（2）=aln2-4b，
∴-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1…2分
由解得0＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）…4分
（2）g（x）=2lnx-x²-kx（k∈R），
g′（x）=-2x-k…5分
假設(shè)結(jié)論g（x）在x=x處取極值，則g′（x）=0成立，則有
（1）-（2），得2ln-（-）-k（x₁-x₂）=0，
∴k=-2x．
由（4）得k=-2x，
∴=，
即=，
即ln=（5）…10
令t=，u（t）=lnt-（0＜t＜1），
∵u′（t）=＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴l(xiāng)nt-＜0，
∴（5）式不成立，與假設(shè)矛盾，…11分
故g（x）在x=x處不是極值點…12分
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，突出構(gòu)造函數(shù)思想與等價轉(zhuǎn)化思想的考查，考查抽象思維與創(chuàng)新思維能力．屬于難題．