Question

關(guān)于x的方程2x²-tx-2=0的兩根為α，β（α＜β），函數(shù)f（x）=
（1）求f（α）和f（β）的值．
（2）證明：f（x）在[α，β]上是增函數(shù)．
（3）對(duì)任意正數(shù)x₁．x₂，求證：（文科不做）

Answer 1

解：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得，
∴
同法得f（（4分）（文科7分）
（2）證明：∵f^/（x）=，而當(dāng)x∈[α，β]時(shí)，
2x²-tx-2=2（x-α）（x-β）≤0，
故當(dāng)x∈[α，β]時(shí)，f^/（x）≥0，
∴函數(shù)f（x）在[α，β]上是增函數(shù)．（9分）（文科14分）
（3）證明：，
∴，
同理．
∴（11分）
又f（兩式相加得：，
即（13分）
而由（1），f（α）=-2β，f（β）=-2α且f（β）-f（α）=|f（β）-f（α）|，
∴．（14分）
分析：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即可求出求f（α）和f（β）的值．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在[α，β]的值大于0，即可證明函數(shù)在區(qū)間[α，β]上是增函數(shù)．
（3）先判斷出和的區(qū)間，根據(jù)（2）的證明，即可證的上述證明．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷即相關(guān)證明．