Question

已知向量

a

=(1，  cosθ)，  

b

=(1，  -cosθ)，  

c

=(

2

3

， 1)，若不等式

a

•

b

≤t(2

a

+

b

)•

c

對θ∈[0， 

π

2

]恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A．[4-2

  3

  ，  +∞)
• B．[0，+∞）
• C．[

  1

  2

  ，  +∞)
• D．(-∞，  

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：由

a

•

b

≤t(2

a

+

b

)•

c

代入整理可得t≥

1-cos2θ

2+cosθ

對θ∈[0， 

π

2

]恒成立則t≥

1-cos2θ

2+cosθ

的最大值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解

解答：解：∵

a

=(1，  cosθ)，  

b

=(1，  -cosθ)，  

c

=(

2

3

， 1)，
且

a

•

b

≤t(2

a

+

b

)•

c

∴（2

a

+

b

）•

c

=（3，cosθ）•（

2

3

，1）=2+cosθ
∴1-cos²θ≤2t+tcosθ對θ∈[0， 

π

2

]恒成立
則t≥

1-cos2θ

2+cosθ

對θ∈[0， 

π

2

]恒成立
設(shè)f（θ）=

1-cos2θ

2+cosθ

═

-(cosθ+2)2+4(cosθ+2)-3

cosθ+2

=-[（cosθ+2）+

3

cosθ+2

]+4，θ∈[0， 

π

2

]
令t=cosθ+2，t∈[2，3]，則f（t）=-（t+

3

t

）+4在[2，3]上單調(diào)遞減
當(dāng)t=2時(shí)，f（t）_max=

1

2

∴t≥

1

2

故選C

點(diǎn)評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用