Question

（2013•崇明縣一模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD中點(diǎn)．
（1）求證：B₁E⊥AD₁；
（2）若AB=2，求二面角A-B₁E-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）要證B₁E⊥AD₁，可證AD₁⊥面A₁B₁CD，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩半平面的法向量，轉(zhuǎn)化為法向量的夾角解決；

解答：（1）證明：因?yàn)锳A₁D₁D為正方形，所以A₁D⊥AD₁，

A1D⊥AD1 CD⊥AD1

⇒AD1⊥面A1B1CD．
又B₁E?面A₁B₁CD⇒AD₁⊥B₁E．
（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B₁（2，0，1），E（1，1，0），
所以

AB1

=(2，0，1)，

AE

=(1，1，0)，
設(shè)

n1

=（x，y，z）為面AB₁E的一個(gè)法向量，則

n1 • AB1 =0 n1 • AE =0

，即

2x+0+z=0 x+y+0=0

，
取面AB₁E的一個(gè)法向量為

n1

=(1，-1，-2)，
同理可取面A₁B₁E一個(gè)法向量為

n2

=(0，1，1)，
設(shè)二面角A-B₁E-A₁為α，則cosα=

|n1•n2|

|n1|•|n2|

=

3

2

，
所以α=

π

6

，即二面角A-B₁E-A₁的大小為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的求法及線面垂直的判定，常用方法：（1）判定定理；（2）向量法；使用向量時(shí)注意向量夾角與所求角之間的關(guān)系．