Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦長AB為直徑的圓過原點，若存在求出直線的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：將圓C化成標準方程，假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）．因為CM⊥l，則有k_CM•k_l=-1，表示出直線l的方程，從而求得圓心到直線的距離，再由：求解．
解答：解：圓C化成標準方程為（x-1）²+（y+2）²=9，假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CM•k_l=×1=-1
∴b=-a-1
∴直線l的方程為y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|²=（）²=2（1-a）²
∴|MB|²=|CB|²-|CM|²=-2a²+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a²+4a+7=a²+b²，得a=-1或，b=2
當a=時，b=-，此時直線l的方程為x-y-4=0
當a=-1時，b=0，此時直線l的方程為x-y+1=0
故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0或x-y+1=0．
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系其其方程的應用，本題是一道探究題，出題新穎，體現知識的靈活運用．