Question

已知函數f(x)=

x3

a2

圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為

2 10

5

，函數g(x)=f(x)-

3bx

a2

+3．
（1）若函數g（x）在x=1處有極值，求g（x）的解析式；
（2）若函數g（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數，且b²-mb+4≥g（x）在x∈[-1，1]時恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出斜率為3的切線方程，根據兩條切線間的距離求出a值，再討論滿足g′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，求出b即可．
（2）欲使函數g（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數只需轉化成g′（x）≥0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，求出b的范圍，根據g（x）在x∈[-1，1]是增函數知g（x）的最大值為g（1），只需使b²-mb+4≥g（1）恒成立即可．

解答：解：（1）∵f′(x)=

3

a2

•x2，
∴由

3

a2

•x2=3得x=±a，
即切點坐標為（a，a），（-a，-a）
∴切線方程為y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
∴

|-2a-2a|

32+(-1)2

=

2 10

5

，
解得a=±1，
∴f（x）=x³．
∴g（x）=x³-3bx+3（4分）
∵g′（x）=3x²-3b，g（x）在x=1處有極值，
∴g′（1）=0，
即3×1²-3b=0，解得b=1
∴g（x）=x³-3x+3（6分）
（2）∵函數g（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數，
∴g′（x）=3x²-3b≥0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
∴b≤0，
又∵b²-mb+4≥g（x）在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
∴b²-mb+4≥g（1）（8分）
即b²-mb+4≥4-3b，若b=0，則不等式顯然成立，若b≠0，
則m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立
∴m≥3．
故m的取值范圍是[3，+∞）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數極值，以及函數恒成立問題和利用待定系數法求解析式，屬于基礎題．