Question

已知某運(yùn)動物體做變速直線運(yùn)動，它的速度v是時(shí)間t的函數(shù)v(t)，求物體在t=0到t=t₀這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程s.?

      

Answer 1

解：（1）分割?

       將時(shí)間區(qū)間［0，t₀］分成n等份：?

       ［］(i=1,2,…,n)，?

       每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間為Δt=;?

       各區(qū)間物體運(yùn)動的距離記作Δs_i(i=1,2,…,n).?

       (2)近似代替?

       在每個(gè)小區(qū)間上以勻速直線運(yùn)動的路程近似代替變速直線運(yùn)動的距離：?

在小區(qū)間［］上任取一時(shí)刻ξ_i(i=1,2,…,n).用時(shí)刻ξ_i的速度v(ξ_i)近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度.由勻速直線運(yùn)動的路程公式，每個(gè)小區(qū)間物體運(yùn)動所經(jīng)過的距離可以近似地表示為Δs_i≈v(ξ_i)Δt(i=1,2,…,n).?

       (3)求和?

       因?yàn)槊總�(gè)小區(qū)間上物體運(yùn)動的距離可以用這一區(qū)間上做勻速直線運(yùn)動的路程近似代替，所以在時(shí)間［0，t₀］范圍內(nèi)物體運(yùn)動的距離s，就可以用這一物體分別在n個(gè)小區(qū)間上做n個(gè)勻速直線運(yùn)動的路程和近似代替，即s=Δs_i≈v(ξ_i)Δt.                   ①?

       (4)求極限?

       求和式①的極限：?

       當(dāng)所分時(shí)間區(qū)間愈短，即Δt=愈小時(shí)，和式①的值就愈接近s.因此，當(dāng)n→∞,即Δt=→0時(shí)，和式①的極限，就是所求的物體在時(shí)間區(qū)間［0，t₀］上所經(jīng)過的路程.?

       由此得到s= (ξ_i)Δt.?

       溫馨提示：s= (ξ_i)Δt為做變速直線運(yùn)動的物體在［0，t₀］這段時(shí)間內(nèi)所運(yùn)動的路程，其中ξ_i為區(qū)間［］上的任意值，取ξ_i=時(shí)，s= （）Δt;取ξ_i=時(shí)，s= ()Δt;取ξ_i=時(shí)，s=(Δt等.當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動時(shí)，上面的結(jié)論仍然成立.