已知兩數(shù)列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），滿足且
（I）求證：an＞bn
（II）求證：數(shù)列{an}的單調(diào)遞減且．
【答案】分析：（I）先證bn＞1．由bn＞0，bn≠1，利用基本不等式的性質(zhì)即可得到；再利用數(shù)學(xué)歸納法證明an＞bn即可；
（II）通過作差并利用（I）的結(jié)論即可證明單調(diào)性，再利用放縮法即可證明．
解答：證明：（I）先證bn＞1．∵bn＞0，bn≠1，∴=1，又，∴bn＞1．
再證an＞bn．①；
②假設(shè)m=k時(shí)命題成立，即ak＞bk＞1，
則ak+1-bk+1=＞=0．
∴ak+1＞bk+1
所以n+k+1時(shí)命題也成立．
綜合①②可得ak＞bk．
（II）an+1-an==，
∵bn＜an，∴，an＞1，∴an+1-an＜0．
故數(shù)列{an}單調(diào)遞減．
∵，
∴…＜．
又a1-1=1，∴，
即．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握基本不等式的性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、作差法、放縮法是解題的關(guān)鍵．注意利用已經(jīng)證明的結(jié)論．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩數(shù)列{an}，{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，若a1=b1，a19=b19，則a10與b10的大小關(guān)系為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連一模）已知兩數(shù)列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），滿足a1=2，b1=
3
2，
且
an+1=
1
2
(an+
bn
an
)
bn+1=
1
2
(bn+
1
bn
)
(n∈N∈+)
（I）求證：an＞bn
（II）求證：數(shù)列{an}的單調(diào)遞減且an+1＜1+
1
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知兩數(shù)列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），滿足數(shù)學(xué)公式且數(shù)學(xué)公式
（I）求證：an＞bn
（II）求證：數(shù)列{an}的單調(diào)遞減且數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：大連一模 題型：解答題

已知兩數(shù)列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），滿足a1=2，b1=
3
2，
且
an+1=
1
2
(an+
bn
an
)
bn+1=
1
2
(bn+
1
bn
)
(n∈N∈+)
（I）求證：an＞bn
（II）求證：數(shù)列{an}的單調(diào)遞減且an+1＜1+
1
2n
．

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