Question

 

（理）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且=1，

.

（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（II）已知定理：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有

< f’(x)”．若且函數(shù)y=xⁿ⁺¹在(0,+∞)上是凹函數(shù)，試判斷b_n與b_n+1的大小；

（III）求證：≤b_n<2.

(文)如圖，|AB|=2，O為AB中點(diǎn)，直線過B且垂直于AB，過A的動直線與交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在線段AC上，滿足=.

（I）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（II）若過B點(diǎn)且斜率為- 的直線與軌跡M交于

         點(diǎn)P，點(diǎn)Q(t,0)是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)ΔBPQ為

         銳角三角形時t的取值范圍．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （理）(1)S_n=a_n，∴S_n+1=a_n+1，a_n+1=S_n+1-S_n=a_n+1-a_n，∴= (n≥2)         (2’)

∴==…==1，∴a_n+1=n，a_n=n-1 (n≥2)，又a₁=0，∴a_n=n-1                  (4’)

   （2）b_n+1=(1+ )ⁿ⁺¹，b_n=(1+ )ⁿ，

∵<(n+1)·(1+ )ⁿ                                   (7’)

整理即得：(1+ )ⁿ<(1+ )ⁿ⁺¹，即b_n<b_n+1                              (8’)

(3)由(2)知b_n>b_n-1­>…>b­₁=                                               (10’)

又C_n^r·()^r=(··…)·()^r≤()^r，(0≤r≤n)，

∴b_n≤1+ +()²+…+()ⁿ=2-()ⁿ<2，∴≤b_n<2                          (14’)

考點(diǎn)解析：這種“新概念”題需要較好的理解、分析能力，放縮法證明不等式是不等式證明的常用方法，也具有一定的靈活性，平時要注重概念的學(xué)習(xí)，常見題型的積累，提高思維能力和聯(lián)想變通能力．

（文）（1）設(shè)A（a,0）,B(0,b),P(x,y),由得——2’

由得點(diǎn)P軌跡方程為——2’

當(dāng)時，C的方程為——1’

設(shè)直線方程為與C方程聯(lián)立得-1=0

易得

——2’

點(diǎn)Q到直線的距離為——2’

得，當(dāng)且僅當(dāng)-2時——1’

S有最大值——2’