Question

某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是．棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第m（m∈N，m≥100）站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第m-1站（勝利大本營(yíng)）或第m站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為P_n．
（1）求P，P_l，P₂；
（2）寫出P_n與P_n-1，p_n-2的遞推關(guān)系；
（3）求證：玩該游戲獲勝的概率小于．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合題設(shè)條件能夠求出P=1，P₁=，=．
（2）依題意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有兩種可能：第一種，棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為；第二種，棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為，由此能夠得到P_n與P_n-1，p_n-2的遞推關(guān)系．
（3）由，知數(shù)列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，由此能證明玩該游戲獲勝的概率小于．
解答：（1）解：依題意，得
P=1，P₁=，
=（3分）．
（2）解：依題意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有兩種可能：
第一種，棋子先到第n-2站，又?jǐn)S出反面，其概率為；
第二種，棋子先到第n-1站，又?jǐn)S出正面，其概率為
∴           （3分）
（3）證明：∵
即（2分）
可知數(shù)列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，
于是有P_m-1=P+（P₁-P）+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_m-1-P_m-2）
=
因此，玩該游戲獲勝的概率小于．（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．