已知函數(shù)f(x)=
ax+b
x+1
的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且關(guān)于點(diǎn)(-1,1)成中心對(duì)稱.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}滿足an>0,a1=1,an+1=[f(
an
)]2
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,試判斷Sn與2的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)f(0)=0,可求b=0.所以f(x)=
ax
x+1
.由函數(shù)f(x)=
ax
x+1
=a-
a
x+1
圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,1)成中心對(duì)稱,可求a
(2)因?yàn)?span id="ja4fizz" class="MathJye">an+1=[f(
an
)]2=(
an
an
+1
)2,且an>0,整理可得
1
an+1
-
1
an
=1
.從而得到數(shù)列{
1
an
}
是等差數(shù)列,可求
(3)由n≥2時(shí),an=
1
n2
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
,從而放縮結(jié)合裂項(xiàng)求和即可求
解答:解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=
ax+b
x+1
的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),
所以f(0)=0,即b=0.所以f(x)=
ax
x+1

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=
ax
x+1
=a-
a
x+1
的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,1)成中心對(duì)稱,
所以a=1.所以f(x)=
x
x+1

(2)因?yàn)?span id="lugzjk4" class="MathJye">an+1=[f(
an
)]2=(
an
an
+1
)2,且an>0,
所以
an+1
=
an
an
+1
,即
1
an+1
=1+
1
an
,即
1
an+1
-
1
an
=1

所以數(shù)列{
1
an
}
是首項(xiàng)為
1
an
=1
,公差為1的等差數(shù)列.
所以
1
an
=1+(n-1)×1=n
,所以an=
1
n2
(n∈N*).
(3)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=1<2;
當(dāng)n≥2時(shí),an=
1
n2
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
,
所以Sn=a1+a2+a3+…+an=1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
<1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=2-
1
n
<2

綜上所述,Sn<2(n∈N*).
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)中由函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式為載體,重點(diǎn)考查了利用構(gòu)造特殊數(shù)列(等差、等比)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,及裂項(xiàng)求和,要注意放縮法在解題中的應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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