Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，平面，分別為棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若四棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）.

【解析】

（1）在平面PBC中，找到與直線(xiàn)EF平行的直線(xiàn)，由線(xiàn)線(xiàn)平行，推出線(xiàn)面平行；

（2）由等體積法，求得點(diǎn)A到平面PBC的距離.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，作圖如下：

因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)榈酌?/span>是菱形，所以，

所以.

因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn)，所以，

所以，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）連接.因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，

所以，菱形的面積為.

因?yàn)?/span>平面，所以四棱錐的體積

，

所以，則，

故的面積為.

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

則三棱錐的體積.

因?yàn)?/span>，

所以，所以.

故點(diǎn)到平面的距離為.