Question

若2sin²α+sin²β-2sinα=0，則cos²α+cos²β的取值范圍是（A[1，5]，B[1，2]，C [1，

9

4

]，D[-1，2]）（　�。�

A．A、

B．B、

C．C、

D．D、

Answer 1

分析：根據(jù)已知等式，得到sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，可以解出sinα的取值范圍是[0，1]，并且cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1，結(jié)合cos²α=1-sin²α，代入cos²α+cos²β得關(guān)于sinα的二次函數(shù)：y═（sinα-1）²+1，其中sinα∈[0，1]，由此不難求出cos²α+cos²β的取值范圍．

解答：解：∵2sin²α+sin²β-2sinα=0，
∴sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，
可得0≤sinα≤1，cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1
∴cos²α+cos²β=（1-sin²α）+（2sin²α-2sinα+1）
=2-2sinα+sin²α=（sinα-1）²+1．
∵0≤sinα≤1，
∴當sinα=0時，cos²α+cos²β有最大值為2，
當sinα=1時，cos²α+cos²β有最小值1．
∴1≤cos²α+cos²β≤2．
故選B

點評：本題給出兩個角α、β的正余弦的一個等式，在此基礎(chǔ)上求α、β余弦的平方和的取值范圍．主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識點，屬于中檔題．