Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）對(duì)于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定義A與B的差為A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A與B之間的距離為d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|
（Ⅰ）證明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅱ）證明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)
（Ⅲ）設(shè)P⊆S_n，P中有m（m≥2）個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為

.

d

(P)．
證明：

.

d

(P)≤

mn

2(m-1)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)槊總�(gè)數(shù)位上都是0或者1，取差的絕對(duì)值仍然是0或者1，符合S_n的要求．
然后是減去C的數(shù)位，不管減去的是0還是1，每一個(gè)a和每一個(gè)b都是同時(shí)減去的，
因此不影響他們?cè)�先的差�?br />（Ⅱ）先比較A和B有幾個(gè)不同（因?yàn)榫嚯x就是不同的有幾個(gè)），然后比較A和C有幾個(gè)不同，
這兩者重復(fù)的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么這一位上B和C就相同）去掉兩次
（因?yàn)樵谇皟纱伪容^中各計(jì)算了一次），剩下的就是B和C的不同數(shù)目，
很容易得到這樣的關(guān)系式：h=k+l-2i，從而三者不可能同為奇數(shù)．
（Ⅲ）首先理解P中會(huì)出現(xiàn)C_m²個(gè)距離，所以平均距離就是距離總和再除以C_m²，
而距離的總和仍然可以分解到每個(gè)數(shù)位上，第一位一共產(chǎn)生了多少個(gè)不同，
第二位一共產(chǎn)生了多少個(gè)不同，如此下去，直到第n位．然后思考，
第一位一共m個(gè)數(shù)，只有0和1會(huì)產(chǎn)生一個(gè)單位距離，因此只要分開(kāi)0和1的數(shù)目即可，
等算出來(lái)t1(m-t1)≤

m2

4

，一切就水到渠成了．
此外，這個(gè)問(wèn)題需要注意一下數(shù)學(xué)語(yǔ)言的書寫規(guī)范．

解答：解：（1）設(shè)A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈S_n
因a_i，b_i∈0，1，故|a_i-b_i|∈0，1，（i=1，2，…，n）a₁b₁∈0，1，
即A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|）∈S_n
又a_i，b_i，c_i∈（0，1），i=1，2，…，n
當(dāng)c_i=0時(shí)，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|；
當(dāng)c_i=1時(shí)，有||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）=|a_i-b_i|
故d(A-C，B-C)=

n

i=1

|ai-bi|=d(A，B)
（2）設(shè)A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈S_n
記d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
記O=（0，0，…，0）∈S_n，由第一問(wèn)可知：
d（A，B）=d（A-A，B-A），d=（O，B-A）=k
d（A，C）=d（A-A，C-A）=d（O，C-A）=l
d（B，C）=d（B-A，C-A）=h
即|b_i-a_i|中1的個(gè)數(shù)為k，|c_i-a_i|中1的個(gè)數(shù)為l，（i=1，2，…，n）
設(shè)t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的個(gè)數(shù)，則有h=k+l-2t，
由此可知，k，l，h不可能全為奇數(shù)，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)．
（3）顯然P中會(huì)產(chǎn)生C_m²個(gè)距離，也就是說(shuō)，其中表示P中每?jī)蓚�(gè)元素距離的總和．
分別考察第i個(gè)位置，不妨設(shè)P中第i個(gè)位置一共出現(xiàn)了t_i個(gè)1，那么自然有m-t_i個(gè)0，因此在這個(gè)位置上所產(chǎn)生的距離總和為ti(m-ti)≤

m2

4

，（i=1，2，…，n），
那么n個(gè)位置的總和
即

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合考查集合、數(shù)列與推理綜合的應(yīng)用，這道題目的難點(diǎn)主要出現(xiàn)在讀題上，需要仔細(xì)分析，以找出解題的突破點(diǎn)．題目所給的條件其實(shí)包含兩個(gè)定義，第一個(gè)是關(guān)于S_n的，其實(shí)S_n中的元素就是一個(gè)n維的坐標(biāo)，其中每個(gè)坐標(biāo)值都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個(gè)n位數(shù)字的數(shù)組，每個(gè)數(shù)字都只能是0和1，第二個(gè)定義叫距離，距離定義在兩者之間，如果直觀理解就是看兩個(gè)數(shù)組有多少位不同，因?yàn)橹挥?和1才能產(chǎn)生一個(gè)單位的距離，因此這個(gè)大題最核心的就是處理數(shù)組上的每一位數(shù)，然后將處理的結(jié)果綜合起來(lái)，就能看到整體的性質(zhì)了．