【題目】已知點(diǎn)是圓心為的圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)矩形的邊所在直線與曲線均相切,設(shè)矩形的面積為,求的取值范圍.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析:(1)利用定義法求橢圓的軌跡方程;(2)設(shè)的方程為, 的方程為,直線與間的距離為,直線與間的距離為, ,從而得到S的范圍.
試題解析:
(1)依題,
所以 (為定值),
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,其中,
所以點(diǎn)軌跡的方程是
(2)①當(dāng)矩形的邊與坐標(biāo)軸垂直或平行時(shí),易得;
②當(dāng)矩形的邊均不與坐標(biāo)軸垂直或平行時(shí),其四邊所在直線的斜率存在且不為0,
設(shè)的方程為, 的方程為,則的方程為, 的方程為,其中,
直線與間的距離為,
同理直線與間的距離為,
所以
,
因?yàn)橹本與橢圓相切,所以,所以,同理,
所以
,
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),不等式取等號(hào)),
所以,即,
由①②可知, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3﹣x2+4x+3,若在區(qū)間[﹣2,1]上,f(x)≥0恒成立,則a的取值范圍是( )
A.[﹣6,﹣2]
B.
C.[﹣5,﹣3]
D.[﹣4,﹣3]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于0<a<1,給出下列四個(gè)不等式( )
①loga(1+a)<loga(1+ );
②loga(1+a)<loga(1+ );
③a1+a<a ;
④a1+a<a ;
其中成立的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè)為正實(shí)數(shù),且,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x﹣2,g(x)=lnx+x2﹣3,若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則( )
A.0<g(a)<f(b)
B.f(b)<g(a)<0
C.f(b)<0<g(a)
D.g(a)<0<f(b)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.
(1)當(dāng)a=﹣ ,c= 時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)c= +1時(shí),若f(x)≥ 對(duì)x∈(c,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P(x1 , f(x1))、Q(x2 , f(x2))兩處的切線分別為l1、l2 . 若x1= ,x2=c,且l1⊥l2 , 求實(shí)數(shù)c的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax2+bx是定義在[a﹣1,3a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是( )
A.﹣
B.
C.
D.﹣
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