Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，令，數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，
∴，又a₁＞0，故a₁=1．（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，，（2分）
化簡(jiǎn)得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由于a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1，故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．（4分）
（2）由得，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+…+3^n-1=．（8分）
（3），（9分）
當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n≥2時(shí)，．（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n==．（12分）
分析：（1）已知前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，利用，了點(diǎn)數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由得，再用疊加法求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3），當(dāng)n≥2時(shí)，．從而可求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和為T_n，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查疊加法求和，考查放縮法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是疊加法求和．