Question

已知函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且函數(shù)f（x）在[1，t]上的值域?yàn)閇

3

2

，

15

4

]，求t的值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x）+3，x₁，x₂是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁+x₂=1，若g（mx₁）+g（mx₂）恒為一個(gè)常數(shù)，求非零常數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)得f（0）=0，代入解析式可求得k的值；
（2）根據(jù)f（1）的值，可以求得a，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，即可證得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）把f（x）代入g（x）化簡(jiǎn)后，代入g（mx₁）+g（mx₂）進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)g（mx₁）+g（mx₂）恒為一個(gè)常數(shù)，求出m的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，則ka⁰-a^-0=0，解得k=1，
（2）由f（1）=

3

2

得，a-a^-1=

3

2

，解得a=2，
下面證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
設(shè)x₂＞x₁，則f（x₂）-f（x₁）=（2x2-2-x2）-（2x1-2-x1）
=（2x2-2x1）（1+

1

2x2•2x1

）
∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，則f（x）在R上為增函數(shù)，
又∵函數(shù)f（x）在[1，t]上的值域?yàn)閇

3

2

，

15

4

]，
∴f（t）=2^t-2^-t=

15

4

，解得t=2；
（3）g（x）=f（x）-f（2-x）+3
=a^x-a^-x-（a^2-x-a^x-2）+3
=(1+

1

a2

)ax-(1+a2)a-x+3，
∴g（mx₁）+g（mx₂）=(1+

1

a2

)amx1-(1+a2)a-mx1+3+(1+

1

a2

)amx2-(1+a2)a-mx2+3
=(1+

1

a2

)(amx1+amx2)-(1+a2)(a-mx1+a-mx2)+6
=(1+

1

a2

)(amx1+amx2)-(1+a2)(

1

amx1

+

1

amx2

)+6
=(1+a2)(amx1+amx2)(

1

a2

-

1

amx1•amx2

)+6
=(1+a2)(amx1+amx2)(

1

a2

-

1

am

)+6恒為一個(gè)常數(shù)，
則m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡(jiǎn)，定號(hào)，下結(jié)論；同時(shí)考查函數(shù)的值域問題，以及化簡(jiǎn)能力．