Question

研究某灌溉渠道水的流速Y與水深x之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：

水深x/m	1.40	1.50	1.60	1.70	1.80	1.90	2.00	2.10
流速Y/(m·s-1)	1.70	1.79	1.88	1.95	2.03	2.10	2.16	2.21

（1）求Y對(duì)x的回歸直線方程；

（2）預(yù)測(cè)水深為1.95 m時(shí)水的流速是多少？

Answer 1

思路分析：從散點(diǎn)圖可以直觀地看出變量x與Y之間有無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，為此把這8對(duì)數(shù)據(jù)描繪在平面直角坐標(biāo)系中，得到平面上8個(gè)點(diǎn)，如圖所示.

由圖容易看出，x與Y之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)，可以用一個(gè)回歸直線方程=a+bx來(lái)反映這種關(guān)系，這些是我們?cè)诒匦弈�塊數(shù)學(xué)3中學(xué)過(guò)的知識(shí).

進(jìn)一步觀察這8個(gè)點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們并不是“嚴(yán)格地”在一條直線上，對(duì)于某個(gè)x_i，由上式能確定一個(gè)=a+bx_i，一般地說(shuō)，由于測(cè)量流速可能存在誤差，或者受某些隨機(jī)因素的影響，或者上面的回歸直線方程本身就不夠精確，與測(cè)得的數(shù)據(jù)y_i很可能不相等，即y_i=_i+e_i(i=1,2,…,8),其中e_i是隨機(jī)誤差項(xiàng).于是，就有y_i=a+bx_i+e_i(i=1,2,…,8),這就是本題的線性模型.

從上述線性模型出發(fā)，我們可以求出a與回歸系數(shù)b的估計(jì)值,，使得全部誤差e₁,e₂,…,e₈的平方和達(dá)到最小，當(dāng)然，這是一種很好的估計(jì).最后得到的求,的數(shù)學(xué)公式為

=

.

解析：（1）可采用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b.

序號(hào)	x	y	x2	xy
1	1.40	1.70	1.96	2.380
2	1.50	1.79	2.25	2.685
3	1.60	1.88	2.56	3.008
4	1.70	1.95	2.89	3.315
5	1.80	2.03	3.24	3.654
6	1.90	2.10	3.61	3.990
7	2.00	2.16	4.00	4.320
8	2.10	2.21	4.41	4.641
∑	14.001	5.822	4.922	7.993

于是，=×14.00=1.75, =×15.82=1.977 5,

=≈0.733.

=1.977 5-×1.75≈0.694.

Y對(duì)x的回歸直線方程為

=+x=0.694+0.733x.

回歸系數(shù)=0.733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s(本例數(shù)據(jù)是以0.1 m為水深間隔測(cè)得的），=0.694可以解釋為水的流速中不受水深影響的部分.

（2）由（1）中求出的回歸直線方程，把x=1.95代入，易得

=0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s).

計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)水深為1.95 m時(shí)可以預(yù)測(cè)渠水的流速約為2.12 m/s.