Question

11．已知在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若asin（$\frac{π}{2}$+C），bsin（$\frac{π}{2}$-B），csin（$\frac{π}{2}$-A）依次成等差數(shù)列．
（1）求角B；
（2）如果△ABC的外接圓的面積為π，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用asin（$\frac{π}{2}$+C），bsin（$\frac{π}{2}$+B），csin（$\frac{π}{2}$+A）依次成等差數(shù)列，結(jié)合正弦定理，即可求出角B；
（2）由△ABC的外接圓的面積為π，求出半徑，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）∵asin（$\frac{π}{2}$+C），bsin（$\frac{π}{2}$+B），csin（$\frac{π}{2}$+A）依次成等差數(shù)列，
∴asin（$\frac{π}{2}$+C）+csin（$\frac{π}{2}$+A）=2bsin（$\frac{π}{2}$+B），
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵△ABC的外接圓的面積為π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=$\sqrt{3}$，
∴3=a²+c²-2accosB≥ac，
當且僅當a=c時，取等號，即ac的最大值為3，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．