精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

若 $數(shù)學(xué)公式$ 、 $數(shù)學(xué)公式$ 是兩個(gè)不共線的非零向量（t∈R）．
（1）若 $數(shù)學(xué)公式$ 、 $數(shù)學(xué)公式$ 起點(diǎn)相同，t為何值時(shí)，若 $數(shù)學(xué)公式$ 、t $數(shù)學(xué)公式$ 、 $數(shù)學(xué)公式$ （ $數(shù)學(xué)公式$ + $數(shù)學(xué)公式$ ）三向量的終點(diǎn)在一直線上？
（2）若| $數(shù)學(xué)公式$ |=| $數(shù)學(xué)公式$ |且 $數(shù)學(xué)公式$ 與 $數(shù)學(xué)公式$ 是夾角為60°，那么t為何值時(shí)，| $數(shù)學(xué)公式$ -t $數(shù)學(xué)公式$ |有最�。�

解：（1）設(shè) $\text{[math]}$ -t $\text{[math]}$ =m[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）]（m∈R），
化簡(jiǎn)得（ $\text{[math]}$ -1） $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ -t） $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 不共線，
∴ $\text{[math]}$
∴t= $\text{[math]}$ 時(shí)， $\text{[math]}$ 、t $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的終點(diǎn)在一直線上．
（2）| $\text{[math]}$ -t $\text{[math]}$ |²=（ $\text{[math]}$ -t $\text{[math]}$ ）²=| $\text{[math]}$ |²+t²| $\text{[math]}$ |²-2t| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cos60°=（1+t²-t）| $\text{[math]}$ |²，
∴t= $\text{[math]}$ 時(shí)，| $\text{[math]}$ -t $\text{[math]}$ |有最小值 $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |．
分析：（1）用兩個(gè)向量共線的充要條件，可解決平面幾何中的平行問(wèn)題或共線問(wèn)題，根據(jù)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上，構(gòu)造向量，得到向量之間的關(guān)系，得到要求的結(jié)果．
（2）求一個(gè)量的最小值，一般要先表示出這個(gè)變量，對(duì)于模長(zhǎng)的運(yùn)算，要對(duì)求得結(jié)果兩邊平方，變化為向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)之間的運(yùn)算，根據(jù)二次函數(shù)的最值得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題表面上是對(duì)向量數(shù)量積的考查，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角和模，用數(shù)量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉(zhuǎn)移到求值域的問(wèn)題，用二次函數(shù)求值域．

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