Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxsin（x+

π

2

），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)二倍角公式化簡函數(shù)解析式：f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，然后，根據(jù)周期公式進(jìn)行求解；
（Ⅱ）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，從而確定

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，然后，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1
=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期π，
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴0≤f（x）≤1+

2

，
∴函數(shù)在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域為[0，1+

2

]．

點評：本題綜合考查了二倍角公式、周期公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．